Modulo 3: Integral definida.

Integral definida 

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

fuente : http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

3.1. Area bajo la curva

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x =b.

La integral definida se representa por:

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

vídeo relacionado:

fuente: http://www.vitutor.com/integrales/definidas/area_bajo_curva.html

3.2. Teoría fundamental del calculo.

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplos 

1. 

2. 

3. 

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplo 

Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x² en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

vídeo relacionado con el tema :

fuente del tema : http://www.vitutor.com/integrales/definidas/teorema_fundamental.html

3.3.Propiedades de integrales definidas.

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos

Vídeo relacionado con el tema: 

fuente del la información: http://www.vitutor.net/1/integral_definida.html

3.4. Área entre una y dos variables.

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos:

1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

vídeo relacionado:

fuente: http://www.vitutor.net

3.5. Aplicación excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

conclusión: 

Este tema es muy útil para ver el precio en que se vende y se puede vender un producto , y se puede tomar el excedente del consumidor y del productor.

Este tema si es un poco complicado por que es muy laborioso, aparte de que hay que tener precausion en el uso de los signos.