Modulo 4: Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

4.1. Sistemas de ecuaciones lineales. 

Ecuación lineal con n incógnitas.

Es cualquier expresión del tipo: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b, donde a_i, b  .

a_i son los coefecientes.

b es el término independiente.

x_i son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Ejemplo 

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,−1,1,−1), (−2,−2,0, 4).

Ecuaciones equivalentes

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

...............................................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

• x_i son las incógnitas, (i = 1, 2,...,n).
• a_ij son los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).
• b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n         m > n, ó m = n, ó m < n.

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogeneo. 

Solución de un sistema

Es cada conjunto de valores que verifica todas las ecuaciones.

vídeo sobre el tema:

fuente: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sistemas_1.html

4.1.1. Definicion:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.2. Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes y su representación parametrica.

 4.1.3. Método para resolución de ecuaciones lineales método gráfico, igualación, sustitución, eliminación.

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita  en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita  en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por  para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita  ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita  en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

video relacionado:

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.4. Sistema de ecuaciones equivalentes. 

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

 5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

vídeos relacionados:

Fuente:   http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

4.1.5. Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan.

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

 

Ejemplos

 1 

3x	+ 2y	+ z	=	1
5x	+ 3y	+ 4z	=	2
x	+ y	− z	=	1

Vídeo relacionado con el tema: 

 Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

4.1.5.1. Definición de matriz.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describirsistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar lasaplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29

4.1.5.2. Exprecion matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

 Dado un sistema de ecuaciones 

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

La expresión anterior, de forma abreviada , se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:
  matriz de los coeficientes
  matriz de las incógnitas
  matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por ) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes () y la matriz ampliada () en una única expresión:

Vídeo relacionado:

Fuente: http://matematicasies.com/Expresion-matricial-de-un-sistema

4.1.5.3.Operaciones elementales de renglones. 

Tipos de matrices y operaciones elementales.

 Definición. Dada una matriz de orden n como la siguiente:

La diagonal que consta de los elementos , , , . . . . se llama diagonal principal de la matriz.

Definición. Una matriz cuadrada de tamaño  se dice que es idéntica, si los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y, los elementos situados por fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, si es una matriz del siguiente tipo:

Esta matriz se denota por .

Definición. Si A es una matriz de tamaño  y X es una matriz de tamaño , entonces el producto escalar de A por X que se denota por AX es un vector columna b, de mcomponentes tal que el elemento  de b es el producto escalar del eliésimo renglón de A por el vector X.

Ejemplo 1.

Si  y . Entonces  .

En el ejemplo anterior  ; .

 Operaciones elementales de reglón.  Dada una matriz A, de tamaño , las siguientes tres operaciones se llaman operaciones elementales de renglón en la matriz A:

• Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente de cero.
• Sumar el múltiplo de un renglón a otro renglón.
• Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales de renglón con el propósito de simplificar una matriz, se  llama reducción por renglones.

En el proceso de aplicar operaciones elementales de renglón, se utilizará la siguiente notación:

• , significa sustituir el iésimo renglón  por el iésimo renglón multiplicando por C.
• , significa que se sustituye el j-ésimo renglón por la suma del j-ésimo renglón más el iésimo renglón multiplicado por C.
• , significa que se intercambian los renglones i y j.

Ejemplo 2.

Si  .

La operación  da origen a la matriz .

La operación  dá origen, si se parte de la matriz A, a la matriz

.

Vídeo relacionado del tema :

Fuente: http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/Archivos/capi11/capi11_3.html

4.1.5.4. Reducción de Gauss y Gauss- Jordan 

Artículo principal: Matriz escalonada

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

1. Todas las filas 1 están en la parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida.

1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1
2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). Así la matriz

también es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

1. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Ejemplos:

Vídeo sobre el tema:

Fuente: http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html

4.2.1.Tipos de matrices.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

Tarea de tipos de matrices:

Funete: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

4.2. Álgebra con matrices.

La matriz unidad de orden nxn es la matriz / de orden nxn en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1 .En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
Ejemplos

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =		1	0	0	0
		0	1	0	0
		0	0	1	0
		0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A = 0 1 1/3 -1

B =

1 -1 2/3 -2

AB =	2/3 -2 -1/3 5/3
BA =	-1/3 2 -2/3 8/3

Vídeo sobre el tema:  

Fuente: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html

4.2.2. Operaciones con matrices.

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (a_ij) y B = (b_ij), se define la matriz suma como:

A + B = (a_ij + b_ij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
 1.  Interna
 2.  Asociativa
 3.  Elemento neutro
 4.  Elemento opuesto

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

A + (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

 5.  Conmutativa

A + B = B + A

Vídeo del tema :

Fuente: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html 

4.2.3.Propiedades de las operaciones con matrices.

OPERACIONES CON MATRICES

Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición (1   1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

 

Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:

 Respuesta:

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:

Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar.

Posiblemente te ayude saber:

1) Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.

2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:

Ejemplo:

Y lo mismo con la 2ª fila que sería:

3)  El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.

Video sobre el tema:

Fuente: http://www.aulafacil.com/matematicas-matrices-determinantes/curso/Lecc-7.htm

4.2.4. Matriz inversa. 

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

Propiedades

 1  (A · B)⁻¹  = B⁻¹ · A⁻¹

 2  (A⁻¹)⁻¹  = A

 3  (k · A)⁻¹  = k⁻¹ · A⁻¹

 4  (A^t)⁻¹  = (A⁻¹)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ = F₂ − F₁

F₃ = F₃ + F₂

F₂ = F₂ − F₃

F₁ = F₁ + F₂

F₂ = (−1) F₂

La matriz inversa es:

vídeo relacionado: 

fuente: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html

4.2.4. Determinantes. 

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| = 

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

 =

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Video del tema: 

Fuente: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

4.3. Determinantes.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| = 

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo 

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo 

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

 =

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a ₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a ₃₃ − a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo 

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63  

Vídeo:

Fuente: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

4.3.1. Definicion de una determinante:

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28matem%C3%A1tica%29

4.3.2. Expancion por cofactores. 

Se puede probar el siguiente:

Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es                                    (2) es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente                                                                     (3) es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante  D.

              

Para expandir  D,  por cofactores del segundo renglón,  calculamos primero los cofactores  A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

              

Entonces: 

                

video:

fuente: http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/08d.-

4.3.3.Propiedades de las determinantes 

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita  en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita  en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por  para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita  ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita  en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.3.4. Regla de Cromer.

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz   A   de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que   A  sea cuadrada significa que el numero de incógnitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones:

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

donde   A   es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de   A   por la matriz de los terminos independientes,   B

  Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz   A   de los coeficientes es una matriz cuadrada y    . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

Video:

4.4 Aplicaciones :Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

 A fin de presentar en las siguientes líneas la esencia del modelo de Insumo–Producto, imaginemos una economía sin comercio exterior y sin impuestos, para simplificar la exposición. Pensemos en una matriz insumo–producto esquemática como la que se muestra a continuación (véase Leontief, 1986 y Millery Blair, 1985).

Donde el elemento típico de W es W_ij, que representa las ventas del sector i al j, f es un vector columna que muestra las ventas del sector i a la demanda final y y es un vector hilera que muestra los pagos del sector j a los factores de producción.

Entonces, la matriz insumo producto se puede representar alternativamente como:

que no es más que una representación de la matriz insumo producto en términos de flujos.

Definamos ahora W_ij = a_ij q_j , es decir el coeficiente a_ij = W_ij / q_j , y tenemos:

que, expresado en forma matricial, se reduce a:

q = Aq + f

donde la matriz A es la matriz de coeficientes cuyo elemento típico es a_ij.

Hasta ahora, el sistema no es más que una forma contable de representación de flujos en la matriz de Insumo–Producto y no se ha postulado ningún comportamiento económico. Sin embargo, si se piensa en este sistema como un sistema de ecuaciones que representa el funcionamiento de una economía y se hace el supuesto de que los sectores operan con funciones de producción que no permiten sustituibilidad entre insumos (coeficientes a_ijfijos), podemos entonces imaginar que el sistema describe la formación de la oferta y demandas. Se tiene entonces la representación de un modelo económico en el que los precios de los factores son fijos.

Este sistema tiene la siguiente solución:

donde la matriz B es conocida como la matriz inversa de Leontief o matriz de multiplicadores (análoga al multiplicador keynesiano).

La matriz B = (I –A)–¹ es fundamental en el análisis insumo–producto, pues muestra los impactos totales de la demanda de producto de cada sector en el resto de los sectores. Es decir, esta matriz tiene características análogas a las del multiplicador keynesiano pues permite incorporar la interdependencia tecnológica del sistema productivo y rastrear la generación de la demanda final hacia atrás en el sistema. Entonces permite calcular cuánta producción se requiere para atender diversos niveles de demanda final y, en consecuencia, cómo deberían cambiar los niveles de producción para satisfacer esos cambios en la demanda final, los que pueden provenir de, por ejemplo, aumentos en los montos de inversión, pública y/o privada, además de otros componentes de la demanda final. Nótese que, en la medida en que se pueden estimar los niveles de producción requeridos en todos los sectores para satisfacer el cambio en la demanda final, se pueden también estimar los requerimientos de insumos, empleo e ingreso de todos los sectores.

Conclusión:

Este tema es muy interesa, ya que asi tenemos una herramienta para obtener el insumo del producto, y podemos determinar el comportamiento del consumidor, si estamos vendiendo lo que necesitamos y cosas por el estilo.

Trabajo echo por : Edgar Javier Velez Gutierrez 
Material Utilisado:
libro de  Matemáticas para administración y economía,  ERNEST F.HAEUSSLER, JR. I RICHARD S. PAUL I RICHARD J. WOOD
y los links ya mencionados .