Modulo 2: Integración

2.1. Antiderivada 

OBJETIVO:

Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y

resolver integrales usando las formulas básicas.

Concepto:

Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema

lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de

una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo

integral.

La antiderivada o primitiva de una funcion f(x) es otra función F(x)+C

donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x)

Es decir F’(x) = f(x)

A la funcion F(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).

Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea xf = 4)(' ?

Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se

derivo es:

F1 (x)= 4x pero también las funciones

F2 (x)=4x+5

F3 (x)=4x-2

F4 (x)=4x-12

F5 (x)=4x+15

F6 (x)=4x+8

F(x) = 4x+C Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia 

Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia de

funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen

pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como

vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C

C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8

Se puede afirmar que la funcion F(x)=4x+C es la antiderivada de f(x)=4

Vídeo de Antiderivada:

 ejemplo de la libreta: 

link de referencia:

http://sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/2012/09/antiderivada.pdf

2.2. Integral Indefinida.

INTEGRACION
Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de
funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas
y se representa mediante los símbolos ∫ o signo de la integral ,

dx indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración

los símbolos siguientes siempre van juntos
∫ > dx  y en el cuadro va la funcion f(x) que se debe integrar así:

∫ f(x) dx

donde f(x) es la derivada de la funcion desconocida llamada integrando

y la respuesta es una familia de funciones así :

∫ f(x) dx = F (x)+ C

A la constante C se le llama constante de integración

Por lo tanto en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de f (x) = 4

se escribe mediante una integral indefinida así: 

∫ 4 dx = 4x + C

y la antiderivada f (x)= 3x2 se escribe:

∫ 3x2 dx = x3 + C

Vídeo de integral Indefinida:

2.2.1.Integrales con Condiciones Iniciales  

Ejemplo de la libreta:

2.3.Formulas básicas de integración 

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función de x y a u' como la derivada de u.

fuente :
http://www.inetor.com/indefinidas/formulas_integrales.html

2.3.1. Integral Indefinida de una constante.

2.3.2. Integral de una variable por una constante.

2.3.3.integral de xn

Descubridor: Cavalieri (1598-1647)

Demostró: (n=1,2..9) Cavalieri; (n=entero positivo)

Demostración #1: Desde la derivada

Dando : 

1. x^{^m} = m x^{^(m-1)}
2. El teorema fundamental de cálculo

m x^{^(m-1)} dx =  x^{^m} dx = x^{^m} + d. (El Teorema fundamental de cálculo (d = una constante arbitraria)

x^{^(m-1)} dx = x^{^m} / m + c (Divida ambos lados por m) (c=una constante arbitraria, d/m = c)

x^{^n} dx = x^{^(n+1)} / (n+1) + c (Fije m=n+1, substitución) QED.

Demostración #2: El método de Fermat

Siendo:

1. 1 + r + r^{^2} + .. + r^{^n} = (1 - r^{^(n+1)}) / (1-r)
2. 1 + r + r^{^2} + ... = 1 / (1-r) (r < 1)

(0 to b) x^{^n} dx es computado por tomando las áreas de un número infinito de subintervalos; subintervalos mas grandes a xcerca de b, mas pequeños cuando cerca de 0.

(0 to b) f(x) dx = f(b)*(b - br) + f(br)*(br - br^{^2}) + f(br^{^2})*(br^{^2} - br^{^3}) + ... (r -> 1-)

= b^{^n}*(b - br) + (br)^{^n}*(br - br^{^2}) + (br^{^2})^{^n}*(br^{^2} - br^{^3}) + ...

= b^{^(n+1)}(1-r) + b^{^(n+1)}r^{^(n+1)}(1-r) + b^{^(n+1)}r^{^(2n+2)}(1-r) + ...

= b^{^(n+1)}(1-r) [ 1 + r^{^(n+1)} + (r^{^(n+1)})^{^2} + ... ]

= b^{^(n+1)}(1-r) [ 1 / (1-r^{^(n+1)}) ] (Teorema 2.)

= b^{^(n+1)} / [ (1 - r^{^(n+1)}) / (1-r) ]

= b^{^(n+1)} / [ 1 + r + r^{^2} + .. + r^{^n} ] (Teorema 1.)

= b^{^(n+1)} / (n+1) (r -> 1) QED.

Vídeo de integrales de X^n:

link de referencia :

http://www.math.com/tables/integrals/more/es-x%5En.htm

2.3.4 Integral de e^n.

2.3.5 Integrales de una constante por una función.

La integral de una constante es igual a la constante por x.

2.3.6.Integrales de una suma de fracciones. 

[f(x) ± g(x)] dx

=

f(x) dx

±

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

Regla de múltiples constantes:

kf(x) dx

=

k

f(x) dx

(k constante)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo".

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

2.3.7.Reglas de la potencia.

La regla de la potencia de la integración te da la solución general para la integral de cualquier variable elevada a cualquier potencia excepto -1, lo que representa un caso especial. Ya que las integrales son primitivas, en otras palabras, si integras la derivada de una función, terminas con la función original, piensa en la regla de la potencia de la integración como hacer lo contrario de lo que hace la regla de la potencia para los derivados.

Convierte las raíces cuadradas, raíces de otras potencias y potencias en los denominadores a las funciones de potencia estándar. La raíz cuadrada de x es igual a x ^ (1/2), la raíz cúbica de x es igual a x ^ (1/3) y así sucesivamente para las otras raíces. Para mover una potencia del denominador al numerador, toma la inversa de la potencia: 1 / x ^ 2 = x ^ -2, por ejemplo.

Agrega uno al poder. Para int [(x ^ 3) dx], por ejemplo, x ^ 3 se convierte en x ^ 4.

Divide el resultado entre el nuevo poder. Por ejemplo, x ^ 4 se convierte en (x ^ 4) / 4


Aquí dejo un vídeo para digerir mas información: 

Fuente:: http://derivadasencalculo.blogspot.mx/p/regla-de-potencias.html

2.3.7.2. Integrales que incluyen funciones exponenciales.

2.3.8. Integrales que contienen funciones logarítmicas.

2.3.9. Integrales que incluyen a(1/u)du.

2.3.10.integrales que incluyen a^u.


2.3.11. Integral por partes.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula :

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

Aquí dejo un vídeo para aprovechar mas el aprendizaje:

2.3.4. Aplicación determinación de funciones de costo, utilidad, consumo y ahorro partir de su marginales.

Este es el video de un ejemplo para utilizar los metodos antes demostrados.

Conclusión del tema:

Este tema es muy útil, por el simple echo de que nos puede servir para determinar cuanto estamos consumiendo o cual es nuestro consumo, cual pueda ser nuestro ahorro y determinar margen de venta o de ganancia, claro sabiendo utilizar estos métodos.