martes, 4 de noviembre de 2014

Modulo 1: Introducir al calculo en dos variables.

1.1. Funciones de dos variables.

En general, estaremos interesados en representar una variable Z en función
de n variables. Sin embargo, la notación se complica bastante cuando n > 2.
Por este motivo, la exposición de los conceptos la vamos a hacer con n = 2.
Las ideas se podrían después extender a n > 2.
Definición.- Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo
matemático que nos dice cu´al es el valor de la variable Z para cada posible
valor de las variables X e Y .

1.2. Derivadas parcial.


Si y = f(x) es una función de una variable. Su primera derivada
(1)
se interpreta como la razón de cambio instantánea de y con respecto de x.
Para una función z = f(x, y) de dos variables, se comprende que de manera análoga la razón con la que cambia al variar x y y (ya sea de manera individual o simultáneamente).
La razón de cambio de z con respecto de x, se obtiene dejando fija a y y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y)
(2)

Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (a, b), se obtiene dejando fija a x y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y) donde x = a es constante se denota como
(3)
Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:
(4)
Observemos que si eliminamos la variable y de la ecuación (2), tendríamos el límite de la ecuación (1). Esto significa que podemos calcular (2) como una derivada ordinaria con respecto de x, considerando ay como constante durante el proceso de derivación . De manera similar, podemos calcular (3) como una derivada ordinaria, tomando a y como la única variable y tratando a x como una constante durante el cálculo.
 Regla para hallar derivadas parciales de z = f(x, y)
Para hallar Dx, considere y como constante y derive f(x,y) con respecto ax
Para hallar Dy, considere x como constante y derive f(x,y) con respecto ay
Ejemplo 1. Si 
Solución Conservando y constante y derivando con respecto a x, obtenemos

Conservando a x constante y derivando con respecto a y, obtenemos
Ejemplo 2. Si 
Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U V )
Ejemplo 3. Si  evalué la pendiente en dirección de x en el punto (0,2) 
Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U / V )

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Cuando diferenciamos dos veces una función, producimos sus derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por

 Teorema de Euler, Teorema de Clairaut (Teorema de las derivadas cruzadas)
Si f(x,y) y sus derivadas parciales fxy, fyx están definidas en un disco D que contiene al punto (a,b) y son todas continuas en (a,b), entonces
fxy (a,b) = fyx (a,b)
Las derivadas parciales de orden mayor de 2 o de orden superior también se pueden definir. Por ejemplo
y usando el Teorema de Euler o Clairaut se demuestra que fxyy = fyxy = fyyx si estas funciones son continuas.

Ejemplo 4. Calcule fyyzx si 

1.3 Maximos y minimos en funciones de dos variables. 

Se puede demostrar que los máximos y mínimos de una función son puntos críticos si se alcanzan en puntos interiores (también pueden ser máximos y mínimos puntos en la frontera, pero entonces no son necesariamente críticos). Recordemos la definición. . .

 Definición 2.  Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una función con derivadas parciales de segundo orden continuas en A; se dice que un punto P0= (x01, . . . , x0n)es, para la función f:
• Máximo absoluto  si, para cada otro punto P = (x1, . . . , xn) ∈ A:
F (x01, . . . , x0n) ≥ f(x1, . . . , xn) (2)

• Mínimo absoluto si, para cada otro punto P = (x1, . . . , xn) ∈ A:
f(x01, . . . , x0n) ≤ f(x1, . . . , xn) (3)
 • Máximo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto
P = (x1, . . . , xn) ∈ B:f(x01, . . . , x0n) ≥ f(x1, . . . , xn) (4)

• Mínimo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto
P = (x1, . . . , xn) ∈ B:f(x01, . . . , x0n) ≤ f(x1, . . . , xn) (5)

• silla si es siempre posible encontrar dos puntos P1 = (x11, . . . , x1n) y P2 =(x21, . . . , x2n) en un entorno B de P0 tal que: f(x11, . . . , x1n) ≤ f(x01, . . . , x0n) ≤ f(x21, . . . , x2n) (6)
Caso en dos variables

En el caso de funciones de dos variables, el signo de los valores propios de la matriz
hessiana (que es simétrica) permite decidir si un punto es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla. Tenemos:

Definición. Sea f una función de dos variables definida en un conjunto abierto
A R2 y continua con sus derivadas hasta el tercer orden. Sea un punto P0 =
(x0, y0) E  I : r f(P0) = 0 (es decir que P0 es un punto crítico para f), entonces
tenemos:
1. si los dos valores propios de HP0 son positivos, P0 es un punto de mínimo
relativo;
2. si los dos valores propios de HP0 son negativos, P0 es un punto de máximo
relativo;
3. si uno de los valores propios de HP0 es positivo y el otro negativo, P0 es un
punto silla.
(En realidad, lo que acabamos de enunciar es un teorema, no una definición).

aquí un video relacionado con el tema:

1.4. Aplicación: optimización  de funciones de dos variables que representan gastos, ingresos o utilidades. 


Aquí un video relacionado con el tema  donde explica la optimizacion  de funciones de dos variables:

Resumen:

En si, este tema nos ayuda a utilizar las funciones para determinar gastos, ingresos y utilidades, utilizando funciones de dos variables, derivadas parcial, máximos y mínimos. 

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